零点存在性定理

发布网友 发布时间：2022-04-22 05:49

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热心网友 时间：2023-06-24 04:08

零点存在性定理

如果函数y = f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0那么，函数y = f (x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根。

扩展资料

证明：不妨设  ，f(b)>0.令

E={x|f(x)≤0,x∈[a,b]}.

由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，

存在ξ=supE∈[a,b].

下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).）.事实上，

(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知

存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,

这又与supE为E的最小上界矛盾。即推得f(ξ)=0。

定理的含义：

（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点

（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号

（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数

热心网友 时间：2023-06-24 04:09

这是零点存在的充分条件，而不是零点存在的必要条件。
也就是说：‘零点存在性定理’的逆命题是假命题。
再说通俗一点：满足‘零点存在性定理’的条件时零点一定在区间（a，b）内存在；当函数在区间（a，b）内存在时，其端点的函数值的积不一定小于零。（如你所述）

热心网友 时间：2023-06-24 04:09

零点存在性定理
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

证明：不妨设f(a)<0,f(b)>0.令
E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.
由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，
存在ξ=supE∈[a,b].
下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).）.事实上，
(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知
存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,
这与supE为E的上界矛盾；
(ii)若f(ξ)>0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知
存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,
这又与supE为E的最小上界矛盾。
综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

热心网友 时间：2023-06-24 04:10

零点存在定理是说：f(x)满是连续函数前提下，在其连续闭区间内两端点乘积小于零，则推出闭区间所对应的开区间内必定存在至少一个零点。
由逆否命题推知：f(x)满是连续函数前提下，其某个闭区间所对应的开区间内没有零点，则闭区间的两端点乘积大于等于零。
以上两个是正确的命题。你所说的是第一个命题（即零点存在定理）的否命题：f(x)满是连续函数前提下，在其连续闭区间内两端点乘积大于零，则推出闭区间所对应的开区间内没有零点。有逻辑可以知道这显然是不一定成立的，事实上你举的例子正好证明了这一点。

热心网友 时间：2023-06-24 04:11

如果函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，且x。是函数在这个区间上的一个零点时，不一定有f(a).f(b)<0.如函数y=x²有零点x。=0，但显然函数值通过零点时没有变另。相邻的两个零点之间(不包括零点)所有的函数值保持同号。
～选自《教材解读与拓展》数学(北师大版)必修1
补充:若函数y=f(x)在区间[a，b]上图像为连续的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a).f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点.它是一个真命题。但如果将其反过来，就是一个假命题了。