(建议用时：80分钟)
x2y2
1．椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O
ab为原点)．
11
(1)求证：a2＋b2等于定值；
32
(2)若椭圆的离心率e∈，，求椭圆长轴长的取值范围．
23
222222
bx＋ay＝ab，
(1)证明 由消去y，
x＋y－1＝0
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0， ∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，
①
即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0⇒a2b2(a2＋b2－1)＞0， ∵a＞b＞0，∴a2＋b2＞1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1 、x2是方程①的两实根． a2（1－b2）2a2
∴x1＋x2＝2，xx＝.
a＋b212a2＋b2由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0， 又y1＝1－x1，y2＝1－x2， 得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0. 11
∴a2＋b2＝2.
(2)解 利用(1)的结论，将a表示为e的函数 c
由e＝a⇒b2＝a2－a2e2，
代入式④，得2－e2－2a2(1－e2)＝0.
②
③ ④
式②代入式③化简得a2＋b2＝2a2b2.
2－e211
∴a＝＝＋.
2（1－e2）22（1－e2）
2
3253∵3≤e≤2，∴4≤a2≤2.
56
∵a＞0，∴2≤a≤2.
∴长轴长的取值范围是[5，6]．
x2y2
2．已知椭圆a2＋b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为2－1. (1)求椭圆方程；
5
(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M －4，0，证
明：MA·MB为定值．
(1)解 化圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，
则圆心为(－1，0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.
又椭圆上的点到点F的距离最小值为2－1，所以a－c＝2－1，即a＝2，则b2＝a2－c2＝1，
x22
故所求椭圆的方程为2＋y＝1.
(2)证明 ①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1. 22
可求得A－1，，B－1，－.
22
7→→5252
此时，MA·MB＝－1＋，·－1＋，－＝－16. 4242②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)， y＝k（x＋1），
由x22得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
＋y＝1，2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2k2－24k2
则x1＋x2＝－，xx＝. 1＋2k2121＋2k25555→→
因为MA·MB＝x1＋4，y1·x2＋4，y2＝x1＋4x2＋4＋y1y2
→→552
＝x1x2＋4(x1＋x2)＋4＋k(x1＋1)·k(x2＋1)
525
＝(1＋k2)x1x2＋k2＋4(x1＋x2)＋k2＋16 4k22252k2－225
＝(1＋k)·＋k＋4－1＋2k2＋k＋16 1＋2k2
2
－4k2－225257
＝2＋＝－2＋＝－. 1616161＋2k
所以，综上得MA·MB为定值，且定值为－
→→7
. 16
x2y2
3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知点A(0，－2)，椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率
323
为2，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为3，O为坐标原点． (1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
223
解 (1)设F(c，0)，由条件知，c＝3，得c＝3. c3
又a＝2，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
x22
故E的方程为4＋y＝1. (2)当l⊥x轴时不合题意，
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． x22
将y＝kx－2代入4＋y＝1 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)>0，
8k±24k2－33
即k>4时，x1，2＝.
4k2＋1
2
224k＋1·4k－32从而|PQ|＝k＋1|x1－x2|＝.
4k2＋1
又点O到直线PQ的距离d＝
2
. 2k＋1
44k2－31
所以△OPQ的面积S△OPQ＝2d·|PQ|＝.
4k2＋14t4
设4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝2＝4. t＋4
t＋t
47
因为t＋t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±2时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ77
的面积最大时，l的方程为y＝2x－2或y＝－2x－2. 4. 如图，已知点E(m，0)(m＞0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点． (1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值； (2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点． (1)解 当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点， ∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD.
设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， y＝k1（x－1），由2得k1y2－4y－4k1＝0， y＝4x，4
y1＋y2＝k，y1y2＝－4.
1
2x1＋x2y1＋y22
，∴M k2＋1，k， ∵M ，
2112同理，点N(2k21＋1，－2k1)， ∴S2EMN
△
11＝2|EM|·|EN|＝2
2222k2＋k·11
1
22（2k21）＋（－2k1）＝
112
k2＋＋2≥22＋2＝4，当且仅当k＝1时，△EMN的面积取11
k2k2，即k1＝±
1
得最小值4.
(2)证明 设直线AB的方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)， B(x2，y2)，
y＝k1（x－m），
由2得k1y2－4y－4k1m＝0， y＝4x
4
y1＋y2＝k，y1y2＝－4m，
1
2x1＋x2y1＋y22
，∴M k2＋m，k， ∵M ，
2112
22
同理，点Nk2＋m，k，
22k1k2∴kMN＝＝kk.
k1＋k212∴直线MN的方程为
22
y－k＝k1k2x－k2＋m，即y＝k1k2(x－m)＋2，
11∴直线MN恒过定点(m，2)．
x2y2
5．(2015·福建质量检查)在平面直角坐标系xOy中，椭圆Г：a2＋b2＝1(a＞b＞0)过点(2，0)，焦距为23. (1)求椭圆Г的方程；
(2)设斜率为k的直线l过点C(－1，0)且交椭圆Г于A，B两点，试探究椭圆Г上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知得a＝2，c＝3，
因为a2＝b2＋c2，所以b2＝a2－c2＝1， x22
所以椭圆Г的方程为4＋y＝1.
(2)依题意得，直线l：y＝k(x＋1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设椭圆Г上存在x1＋x2＝x0，
点P(x0，y0)使得四边形OAPB为平行四边形，则
y1＋y2＝y0.
y＝k（x＋1），
由x22
＋y＝1，4
得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4(k2－1)＝0， －8k2
所以x1＋x2＝，
1＋4k2－8k2k
y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝k2＋2＝2. 1＋4k1＋4k
－8k2
x0＝1＋4k2，
2
于是
2ky0＝1＋4k2，
2k－8k即点P的坐标为2，2.
1＋4k1＋4k又点P在椭圆Г上，
2
－8k22
1＋4k2k2所以＋1＋4k2＝1，
4
2
整理得4k2＋1＝0，此方程无解．
故椭圆Г上不存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形．
x2y2
6．(2014·四川卷)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)； |TF|
②当|PQ|最小时，求点T的坐标．
22a＋b＝2b，
(1)解 由已知可得 222c＝2a－b＝4，
解得a2＝6，b2＝2，
x2y2
所以椭圆C的标准方程是6＋2＝1.
(2)①证明 由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)， m－0
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
－3－（－2）1
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝m， 直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
x＝my－2，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得x2y2
＋＝1，62消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0， 其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. －24m
所以y1＋y2＝2，y1y2＝2，
m＋3m＋3x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝
－12
. m2＋3
2m－6，， 所以PQ的中点M的坐标为22m＋3m＋3m
所以直线OM的斜率kOM＝－3.
m
又直线OT的斜率kOT＝－3，所以点M在直线OT上， 因此OT平分线段PQ. ②解 由①可得， |TF|＝m2＋1，
|PQ|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝（m2＋1）[（y1＋y2）2－4y1y2] ＝4m2－2
（m＋1）2－4·2
m＋3m＋3
2
24（m2＋1）＝
m2＋3|TF|所以|PQ|＝＝221（m＋3）24·m2＋1 412
m＋1＋＋4≥·2m＋124
2
13
·（4＋4）＝243. 4|TF|
当且仅当m＋1＝2，即m＝±1时，等号成立，此时|PQ|取得最小值．
m＋1
|TF|
所以当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1).
|PQ|
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容